首先，我们回顾一下余弦差公式的表达形式：

\[ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \]

这个公式的推导可以从单位圆的角度出发。在单位圆上，任意角度的点可以表示为 \((\cos \theta, \sin \theta)\) 的形式。假设我们有两个角度 \(A\) 和 \(B\)，它们对应的点分别是 \(P_1(\cos A, \sin A)\) 和 \(P_2(\cos B, \sin B)\)。

接下来，我们利用向量的内积来推导这个公式。两个向量之间的夹角余弦值等于这两个向量的内积除以它们的模长之积。对于点 \(P_1\) 和 \(P_2\)，它们的向量分别是 \((\cos A, \sin A)\) 和 \((\cos B, \sin B)\)。因此，这两个向量的内积为：

\[ (\cos A)(\cos B) + (\sin A)(\sin B) \]

同时，这两个向量的模长都是 1（因为它们位于单位圆上），所以它们的模长之积也是 1。因此，向量夹角的余弦值即为它们的内积：

\[ \cos(A - B) = (\cos A)(\cos B) + (\sin A)(\sin B) \]

这就是余弦差公式的推导过程。通过这种方式，我们可以清晰地看到公式的几何意义和数学逻辑。

此外，这个公式还可以通过复数的形式进行验证。利用欧拉公式 \(e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta\)，我们可以写出：

\[ e^{i(A-B)} = e^{iA} \cdot e^{-iB} = (\cos A + i \sin A)(\cos B - i \sin B) \]

展开后得到：

\[ e^{i(A-B)} = (\cos A \cos B + \sin A \sin B) + i (\sin A \cos B - \cos A \sin B) \]

比较实部和虚部，实部即为 \(\cos(A-B)\)，虚部即为 \(\sin(A-B)\)，从而验证了余弦差公式的正确性。

总之，通过对单位圆、向量内积以及复数形式的分析，我们可以全面理解并掌握余弦差公式的推导过程及其应用价值。这种多角度的推导方法不仅加深了对公式的理解，也为进一步的数学学习奠定了坚实的基础。