【高中复合函数求导公式】在高中数学中，复合函数的求导是一个重要的知识点，尤其在学习导数的应用时，掌握复合函数的求导方法是必不可少的。复合函数是指由两个或多个函数组合而成的函数，其形式为 $ y = f(g(x)) $。为了方便理解和记忆，以下是对高中阶段常见的复合函数求导公式的总结，并以表格形式呈现。
一、基本概念
复合函数是由内层函数和外层函数构成的函数，例如：
若 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，则 $ y = f(g(x)) $ 是一个复合函数。
复合函数的导数遵循链式法则（Chain Rule），即：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
二、常见复合函数类型及求导公式
| 复合函数形式 | 导数公式 | 说明 |
| $ y = f(g(x)) $ | $ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 基本链式法则，适用于任何可导函数 |
| $ y = [g(x)]^n $ | $ y' = n[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x) $ | 幂函数的导数，$ n $ 为常数 |
| $ y = e^{g(x)} $ | $ y' = e^{g(x)} \cdot g'(x) $ | 指数函数的导数 |
| $ y = a^{g(x)} $ | $ y' = a^{g(x)} \cdot \ln a \cdot g'(x) $ | 底数为任意正数的指数函数 |
| $ y = \ln(g(x)) $ | $ y' = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) $ | 对数函数的导数 |
| $ y = \sin(g(x)) $ | $ y' = \cos(g(x)) \cdot g'(x) $ | 正弦函数的导数 |
| $ y = \cos(g(x)) $ | $ y' = -\sin(g(x)) \cdot g'(x) $ | 余弦函数的导数 |
| $ y = \tan(g(x)) $ | $ y' = \sec^2(g(x)) \cdot g'(x) $ | 正切函数的导数 |
| $ y = \log_a(g(x)) $ | $ y' = \frac{1}{g(x) \ln a} \cdot g'(x) $ | 对数函数（底数为 $ a $）的导数 |
三、使用技巧与注意事项
1. 分清内外层函数：在应用链式法则前，首先要明确哪个是外层函数，哪个是内层函数。
2. 逐层求导：如果复合函数层数较多（如 $ y = f(g(h(x))) $），应从最外层开始逐步向内求导。
3. 注意乘积与商的规则：当复合函数中包含乘积或商的形式时，需结合乘法法则或除法法则进行求导。
4. 熟悉基本初等函数的导数：熟练掌握常见函数的导数是灵活应用链式法则的基础。
四、示例解析
例1：求 $ y = (3x + 2)^5 $ 的导数。
解：设 $ u = 3x + 2 $，则 $ y = u^5 $
$$
\frac{dy}{dx} = 5u^4 \cdot \frac{du}{dx} = 5(3x + 2)^4 \cdot 3 = 15(3x + 2)^4
$$
例2：求 $ y = \sin(2x + 1) $ 的导数。
解：设 $ u = 2x + 1 $，则 $ y = \sin u $
$$
\frac{dy}{dx} = \cos u \cdot \frac{du}{dx} = \cos(2x + 1) \cdot 2 = 2\cos(2x + 1)
$$
五、总结
复合函数的求导是高中数学中导数部分的重要内容，掌握链式法则及其在不同函数类型中的应用是解决复杂导数问题的关键。通过理解每一类函数的导数公式并结合实际例子练习，可以有效提高对复合函数求导的熟练度与准确性。
