【怎么求微分】在数学中，微分是研究函数变化率的重要工具，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。掌握如何求微分，有助于理解函数的变化趋势和局部性质。本文将总结常见的微分方法，并通过表格形式清晰展示不同函数的微分规则。
一、微分的基本概念
微分（Derivative）表示一个函数在某一点处的瞬时变化率，通常用 $ f'(x) $ 或 $ \frac{df}{dx} $ 表示。求微分的过程称为“求导”。
微分的定义如下：
$$
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
$$
但实际应用中，我们更多使用已知的微分法则来快速求解。
二、常见函数的微分法则
以下是一些常见函数的微分公式，便于快速查阅和应用：
| 函数形式 | 微分结果 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = u(x) + v(x) $ | $ f'(x) = u'(x) + v'(x) $ |
| $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $ | $ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $（乘积法则） |
| $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $ | $ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $（商法则） |
三、微分的应用场景
1. 极值问题：通过求导找到函数的最大值或最小值。
2. 曲线斜率：计算函数图像在某点的切线斜率。
3. 运动学分析：速度是位移对时间的导数，加速度是速度的导数。
4. 优化问题：在经济学或工程中，用于最大化收益或最小化成本。
四、注意事项
- 微分只适用于可导的函数，某些函数在特定点可能不可导。
- 复合函数需使用链式法则进行求导。
- 对于隐函数或参数方程，需采用隐函数求导法或参数求导法。
五、总结
求微分是数学分析中的核心内容，掌握基本的微分法则和技巧，能够帮助我们更好地理解和解决实际问题。通过上述表格可以快速查找各类函数的微分表达式，提高学习效率与应用能力。
如需进一步了解高阶导数、偏导数或隐函数求导等内容，可继续深入学习微积分相关知识。
