同学们，今天我们要一起探索一个有趣的数学问题！已知关于\( x \)的一元二次方程 \( x^2 - kx + 5(k-5) = 0 \)，它的两个根 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 是异号的（一个正数一个负数）。🤔 为什么会这样呢？让我们一起揭开谜底吧！
首先，根据题目条件，我们可以用根与系数的关系来分析：
- 根的乘积 \( x_1 \cdot x_2 = 5(k-5) \)。
如果两根异号，那么它们的乘积必然是负数，也就是说 \( 5(k-5) < 0 \)。
通过解这个不等式，我们发现 \( k < 5 \)。
再来看根的和：
- 根的和 \( x_1 + x_2 = k \)。
无论 \( k \) 的具体值是多少，只要满足 \( k < 5 \)，方程的两根就一定异号！💡
所以，这个问题的核心就在于 \( k < 5 \) 的条件。🌟 数学的世界就是这样充满逻辑之美，是不是很神奇呢？快来试试自己找几个符合条件的 \( k \) 值，验证一下吧！🔍✨