【分部积分公式】在微积分中，分部积分法是一种重要的积分技巧，常用于求解难以直接积分的函数。该方法基于乘积法则的逆运算，适用于被积函数为两个函数相乘的情况。通过合理选择“u”和“dv”，可以将原积分转化为更易处理的形式。
一、分部积分公式的定义
分部积分公式是：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
其中：
- $ u $ 是一个可微函数；
- $ dv $ 是另一个可微函数的微分；
- $ du $ 是 $ u $ 的微分；
- $ v $ 是 $ dv $ 的积分结果。
二、使用步骤总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 识别被积函数是否适合用分部积分法（通常是两个不同类型的函数相乘） |
| 2 | 选择合适的 $ u $ 和 $ dv $，通常遵循“ILATE”规则（I: 反三角函数；L: 对数函数；A: 代数函数；T: 三角函数；E: 指数函数） |
| 3 | 计算 $ du $ 和 $ v $ |
| 4 | 将 $ u $、$ dv $、$ du $、$ v $ 代入公式 |
| 5 | 计算新的积分部分，若仍复杂，可继续使用分部积分法 |
三、常见应用示例
| 被积函数 | 选择 $ u $ 和 $ dv $ | 公式展开 | 结果 |
| $ x \sin x $ | $ u = x $, $ dv = \sin x dx $ | $ -x \cos x + \int \cos x dx $ | $ -x \cos x + \sin x + C $ |
| $ x e^x $ | $ u = x $, $ dv = e^x dx $ | $ x e^x - \int e^x dx $ | $ x e^x - e^x + C $ |
| $ \ln x $ | $ u = \ln x $, $ dv = dx $ | $ x \ln x - \int 1 dx $ | $ x \ln x - x + C $ |
| $ x^2 \cos x $ | $ u = x^2 $, $ dv = \cos x dx $ | $ x^2 \sin x - 2 \int x \sin x dx $ | 需再次分部积分，最终结果为：$ x^2 \sin x + 2x \cos x - 2 \sin x + C $ |
四、注意事项
- 分部积分法并非万能，有时可能需要多次使用；
- 选择不当会导致计算更加复杂；
- 熟悉常见的函数类型有助于快速判断 $ u $ 和 $ dv $ 的选取；
- 实践中可通过尝试不同的组合来优化计算过程。
五、小结
分部积分公式是微积分中的核心工具之一，尤其在处理乘积形式的积分时具有重要价值。掌握其基本原理与应用技巧，能够显著提升解决复杂数学问题的能力。通过不断练习和积累经验，可以更灵活地运用这一方法。
