【求函数值域的方法和例题】在数学学习中，函数的值域是理解函数性质的重要部分。值域指的是函数所有可能输出值的集合。掌握求函数值域的方法，有助于我们更好地分析函数图像、判断函数的单调性以及解决实际问题。以下总结了几种常见的求函数值域的方法，并结合具体例题进行说明。

一、求函数值域的常用方法

二、典型例题解析

例题1：直接法

题目：求函数 $ f(x) = 2x + 3 $ 的值域。

解法：

该函数为一次函数，定义域为全体实数，所以值域也为全体实数。

答案：$ (-\infty, +\infty) $

例题2：配方法

题目：求函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 5 $ 的值域。

解法：

配方得 $ f(x) = (x - 2)^2 + 1 $，由于平方项非负，最小值为1，故值域为 $ [1, +\infty) $。

答案：$ [1, +\infty) $

例题3：判别式法

题目：求函数 $ y = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 2} $ 的值域。

解法：

令 $ y = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 2} $，整理得 $ y(x^2 + 2) = x^2 + 1 $，即 $ (y - 1)x^2 + (2y - 1) = 0 $。

若此方程有实数解，则判别式 $ D \geq 0 $，解得 $ y \in [\frac{1}{2}, 1) $。

答案：$ [\frac{1}{2}, 1) $

例题4：反函数法

题目：求函数 $ y = \log_2(x - 1) $ 的值域。

解法：

先求其反函数，设 $ x = \log_2(y - 1) $，则 $ y = 2^x + 1 $。反函数的定义域为全体实数，因此原函数的值域也为全体实数。

答案：$ (-\infty, +\infty) $

例题5：图像法

题目：求函数 $ f(x) = \sqrt{x^2 - 4} $ 的值域。

解法：

该函数的定义域为 $ x \leq -2 $ 或 $ x \geq 2 $，图像为双曲线的一部分。当 $ x \to \pm\infty $ 时，$ f(x) \to +\infty $，最小值为0（当 $ x = \pm2 $ 时）。

答案：$ [0, +\infty) $

例题6：不等式法

题目：求函数 $ f(x) = x + \frac{1}{x} $（$ x > 0 $）的值域。

解法：

利用均值不等式 $ x + \frac{1}{x} \geq 2 $，当且仅当 $ x = 1 $ 时取等号。

答案：$ [2, +\infty) $

例题7：导数法

题目：求函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的值域。

解法：

求导得 $ f'(x) = 3x^2 - 3 $，令导数为0得极值点 $ x = \pm1 $。

计算得 $ f(1) = -2 $，$ f(-1) = 2 $，结合极限行为，值域为全体实数。

答案：$ (-\infty, +\infty) $

三、总结

求函数值域是数学中的基础内容，掌握多种方法有助于灵活应对不同类型的函数问题。建议在学习过程中多练习、多思考，逐步提升对函数整体性质的理解。通过以上方法和例题的分析，可以更系统地掌握如何求解各类函数的值域。